Свойства неинерциальных систем
Для того чтобы лучше уяснить смысл кривизны простран ства—времени, напомним сначала особенности геометрии про странства и течения времени в неинерциальных системах отсче та, движущихся с ускорением в плоском пространстве—времени Минковского. Это позволит нам ввести понятия, необходимые для вычислений в искривленном пространстве—времени.
В мире Минковского (т. е. вдали от тяготеющих масс) в инерциальной системе отсчета геометрия евклидова и время те чет везде одинаково.
Рассмотрим теперь, следуя Эйнштейну (1965) (см. также Ландау и Лифшиц (1962)), равномерно вращающийся диск. На блюдатель А, не участвующий во вращении, может измерить длину окружности края дискад l и его диаметр D (например, из меряя длину окружности, начерченную непосредственно под вра щающимся диском, и диаметр этой окружности). Очевидно, t / D = ?. Другой наблюдатель, В, находящийся на вращающемся диске, тоже измеряет длину окружности, непосредственно при кладывая масштаб к его краю, а затем к диаметру.
Наблюдатель А замечает, что когда наблюдатель В прикла дывает движущийся масштаб к краю диска, масштаб испыты вает лоренцово сокращение длины. Следовательно, на длине той же окружности уложится больше масштабных отрезков, и длина окружности получится больше, чем при измерении в инерциальной системе, а именно
l = l / v1v 2 / c 2
, где v — скорость края диска. Когда на вращающемся диске масштаб прикладывают к диаметру, для неподвижного наблюдателя А он не сокращается в длине, так как движется в поперечном направлении. Следова тельно, измерение диаметра даст то же число, что и в инер циальной системе D = D . Поэтому по изменению на вращающем ся диске отношение l / D = l / D v1v 2 / c 2 > ? , что не соответствует геометрии Евклида.
Нетрудно понять математическую причину появления неевк лидовости 3-мерной геометрии в неинерциальной системе отсче та в плоском 4-мерном пространстве — времени.
Когда рассматривается 3-мерное пространство инерциаль мой системы, это означает сечение 4-мерного пространства — времени «плоской» 3-мерной гиперповерхностью. Пространство 3-мерной неинерциальной системы получается искривлен ным сечением 4-мерного пространства — времени. Неудивитель но, что геометрия этого искривленного сечения неевклидова. Си туация полностью аналогична планиметрии на искривленной двумерной поверхности в обычном (плоском) трехмерном про странстве. Несмотря на то, что это пространство плоское, гео метрия на кривой поверхности неевклидова.
Возвращаясь к вращающемуся диску, заметим, что если ско рость вращения диска меняется, то геометрия будет меняться со временем.
Обратимся теперь к свойствам течения времени. Чем даль ше от центра диска, тем больше линейная скорость вращения,
тем медленнее идут часы согласно формуле СТО: t =
t * v1v 2 / c 2 Таким образом, темп течения времени разный
в разных точках диска. Если же скорость вращения меняется, то темп этот меняется и с течением времени.
Но это еще не все. Рассмотрим часы, расположенные на од ной окружности диска. Они движутся с одинаковой линейной скоростью v , и темп их хода одинаков. Чтобы они всегда пока зывали одинаковое время, у них должно быть общее начало от счета, т, е. их нужно синхронизовать. Из СТО известно, что если синхронизовать с помощью лучей света часы I и II в двух точ ках движущегося тела (рис. 2), то для неподвижного наблюдателя часы I идут несколько впереди часов II.
Поэтому если пытаться синхронизо вать часы, расположенные на окружно сти на вращающемся диске, то получим следующее (см. рис. 2). Часы //отстают для внешнего наблюдателя от /, часы /// от // и тем более от / и т. д. Обойдя всю окружность и вернувшись к /, мы долж ны заключить, что в этой же точке часы, синхронные с /, должны идти позади /, что явно нелепо. Рассуждение показывает, что на вращающемся теле нельзя установить еди ное время. Время не только течет по-разному в разных точках, но и понятия одновременности не существует.
Подведем итог. Уже в обычном (и привычном!) плоском про странстве— времени с телами, движущимися ускоренно, нельзя связать жесткую систему пространственных координат, в кото рой выполняется 3-мерная геометрия Евклида и течет единое время, как это можно сделать с телами, движущимися по инер ции. За исключением специальных случаев (например, равно мерно вращающийся диск), любая система отсчета будет с тече нием времени деформироваться, геометрические свойства ее (как говорят, свойства сопутствующего пространства системы отсчета) будут меняться, так же как и ход связанных с ней часов.
В ньютоновской физике жесткая декартова система отсчета могла быть задана положением в каждый момент начала отсче та и ориентации осей. В релятивистской теории, чтобы опреде лить систему отсчета, надо задать не только движение и пово роты одного ее участка (начала отсчета), но и всех других уча стков. Таким образом, системой отсчета является совокупность пробных частиц (с каждой из которых связаны часы), запол няющих всю интересующую нас область пространства и движу щихся по нашему произвольному выбору.
Аналогичная ситуация имеет место и в ОТО. Различие за ключается в том, что в СТО в отсутствие полей тяготения всегда можно перейти от неинерцнальной системы отсчета к инер циальной и пользоваться ею во всей интересующей нас области пространства — времени. В ОТО этого сделать нельзя вслед ствие кривизны пространства — времени.
Задачи по физике с решениями Интересное и познавательное о астрофизике