Тяготение в плоском пространстве
Разочарование в единой теории поля породило новое направ ление в подходе к теории тяготения. Это направление можно изложить следующим образом. Бесспорно, ОТО является удо влетворительной теорией тяготения. Однако является ли ОТО единственно возможной, «неизбежной» теорией тяготения? (На конец, мы подходим к тому вопросу, который вынесен в заголо вок главы 2). Другие полевые теории могут быть развиты в рамках плоского пространства—времени. Нельзя ли и грави тацию рассматривать как особое поле, действие которого разы грывается в плоском пространстве времени? Каковы должны быть свойства этого поля? Обязательно ли представление об ис кривлении пространства? Начнем с разбора второго вопроса о свойствах предполагае мого поля.
Сходство между законом Кулона и законом Ньютона все ляет надежду на успех программы построения поля тяготения в плоском пространстве. Очень поучительно, что основные свой ства искомой теории можно получить из простого мысленного эксперимента. Рассмотрим покоящуюся частицу, которая соз дает в окружающем пространстве потенциал ? —а/ r Потенииал частицы, движущейся с постоянной скоростью, можно получить из потенциала покоящейся частицы с помощью преобразований Лоренца, т. е. рассматривая то же самое поле ? = а/ r с точки зрения движущегося наблюдателя. Теперь рассмотрим не одну частицу, а совокупность частиц, движущихся по всем возмож ным направлениям и одновременно встречающихся в одной точке. Предполагается, что все направления равновероятны, так что эта совокупность частиц образует сферически-симмет ричную систему. Потенциал совокупности частиц получим пу тем суперпозиции (сложения) потенциала отдельных частиц. Ответ, который мы при этом получим, зависит от природы ?, т. е. от того, как ведет себя ср при лоренц-преобразовании, от трансформационных свойств ?.
Если ? есть скаляр, то оказывается, что для совокупности п движущихся частиц
?= n ? 1 * v1v 2 / c 2
т. е. ? меньше, чем для покоящихся частиц. Если ф есть нулевая компонента 4-вектора, то ? = n? 1 , движение частиц не влияет на их потенциал и на создаваемое ими поле.
Наконец, если ? есть 0,0-компонента *) тензора второго ран га, то получается ?= n? 1/ v1v 2 / c 2
Второй случай как раз соответствует электромагнитной теории. Электроны в атоме движутся с большими скоростями (в тяже лых атомах порядка скорости света), однако это не меняет их наблюдаемого заряда, не нарушает точной компенсации заряда ядра зарядом электронов. Хорошо известно, что электростатический потенциал ? есть нулевая компонента 4-вектора A µ= (?, A ), соответственно электрическое и магнитное поля вместе образуют тензор второго ранга F ik = — F ki .
Для гравитационного поля, очевидно, нужно выбрать третий вариант; ? как 0,0-компоненту тензора второго ранга. В этом (и только в этом) случае гравитационное поле п движущихся частиц оказывается пропорциональным сумме их масс. При этом автоматически учитывается, что масса движущейся частицы возрастает с увеличением скорости, m = m 0 / v1v 2 / c 2 , в соответствии со специальной теорией относительности.
Можно еще иначе сформулировать результат. Принцип экви валентности требует, чтобы различные тела испытывали одина ковое ускорение в поле тяготения, т. е. чтобы действующая на них сила была пропорциональна их массе. Третий закон Нью тона — равенство действия и противодействия — требует чтобы гравитационное поле тела было пропорционально его массе. Дви жение частиц, составляющих тело, увеличивает его массу. Сле довательно, движение частиц должно увеличивать и создаваемое ими гравитационное поле, в отличие от электрического поля частиц, не зависящего от скорости заряда. Поэтому теория гра витационного поля должна отличаться от теории электромагнит ного поля (несмотря на сходный вид в статическом случае; ср. выше о сходстве закона Кулона и закона Ньютона).
Гравитационный потенциал есть тензор второго ранга. Гра витационное поле имеет три индекса, Е 00? , где а соответствует пространственной координате.
Можно проследить и дальше сходство и различие гравита ционного и электромагнитного полей. Переход от статического поля к полю движущегося тела производится путем лоренц-пре образования. При этом из компонент ?о 0 , Е оо? получаются с ко эффициентом v / c компоненты ?о?, E о?? Эти величины вполне аналогичны вектор-потенциалу и магнитному полю. Аналогия между полем тяготения движущегося (в частном случае — вра щающегося) тела и магнитным полем движущихся зарядов отмечалась неоднократно.
Экспериментальное исследование «гравимагнитных» явлений сейчас оживленно дискутируется и, вероятно, будет осуществ лено в ближайшие 5 — 10 лет. Такие опыты особенно интересны, потому что они подтвердят качественное отличие свойств грави тационного поля от простых ньютоновских представлений.
Выводы релятивистской теории тяготения в плоском про странстве совпадают с выводами ОТО для слабого поля тяго тения. Это естественно, так как слабое поле рассматривалось как тензор в плоском пространстве. Мы на помним некоторые выводы упомянутых параграфов.
В поле вращающегося тела, кроме потенциала <р 0 о, завися щего от массы тела, появляются компоненты ф 0а , зависящие от вращения тела. Их знак меняется при изменении направления вращения тела. Частица, пролетающая мимо вращающегося тела, испытывает, кроме силы притяжения, еще и отклоняющую силу пропорциональную скорости частицы, наподобие лоренцо вой силы, действующей на заряд, пролетающий в магнитном поле. Волчок (гироскоп), находящийся в поле вращающегося тела (например, Земли) не сохраняет постоянное направление оси, а прецессирует.
Напомним, что на полюсе Земли прецессия равна 0,2, а на экваторе — 0,1 угловых секунд в год. На поверхности нейтрон ной звезды (§ 5 гл. 10) при максимальной возможной скорости вращения соответствующей моменту k ?0,02 GM 2 / c **), прецес сия гироскопа могла бы составить ??50 сек --1 радиан в секунду.
В. И. Пустовойт и А. А. Баутин (1964) показали, что прецес сия гироскопа в поле вращающейся Земли в точности соответ ствует представлению о том, что у гироскопа, как и у Земли, есть гравимагнитные моменты, которые взаимодействуют так же, как два обыкновенных магнита. Наконец, оказалось, что воз действие гравимагнитного поля на колебательные и кванто вые системы аналогично зееман-эффекту. Раз личие лишь в том, что зееман-эффект в магнитном поле зависит от отношения заряда электрона к его массе. Гравимагнитный зееман-эффект универсален: гравитационный заряд и масса для всех тел находятся в постоянном отношении.
В соответствии с дипольным характером (и так же как и в электромагнитном случае) гравимагнитный потенциал убывает как 1/г 2 , а поле как 1/ r 3 , т. е. быстрее, чем статическое поле са мой массы.
Еще быстрее убывают составляющие поля, зависящие от квадрупольного момента распределения масс и от неравномер ного вращения массы, т. е. слагаемые более высокой мульти польности (по сравнению с диполем).
Следующий, новый (по сравнению с теорией Ньютона) вы вод, который дает релятивистская теория тяготения в плоском пространстве, заключается в существовании гравитационных волн (см. § 11 гл. 1). Уравнения поля таковы, что когда квадруполь ный (или более высокий) момент тела меняется со временем, то в решении появляются также зависящие от времени квадруполь ные составляющие, амплитуда которых убывает с расстоянием как 1/г — «волны».Подробнее см. в Дополнении III . Это значит, что на большом расстоянии от тела (больше длины волны) «волны» становятся сильнее, чем статические составляющие поля.
Уносимая волнами энергия пропорциональна квадрату ам плитуды; плотность потока ~ 1/г 2 , умноженная на поверхность сферы 4? r 2 , не зависит от расстояния, что соответствует конеч ному потоку излучаемой энергии.
В электромагнитном случае сохраняется заряд, а дипольный момент (магнитный и электрический) могут меняться со време нем. В связи с сохранением заряда сохраняется и сферически симметричная составляющая электрического поля (соответствую щая закону Кулона), не существуют продольные сферически симметричные волны, в которых эта составляющая менялась бы со временем. Низший мультиполь в электромагнитных волнах — это электрическое и магнитное дипольное излучение; поле волнг поперечное.
Рассмотрим излучение гравитационных волн, действуя мето дом последовательных приближений. Без учета гравитационных, волн сохраняются m масса, К — момент. Соответственно в пус том пространстве, окружающем систему, не могут меняться ни продольная сферически-симметричная статистическая состав ляющая (пропорциональная массе), ни гравимагнитная диполь ная стационарная составляющая (пропорциональная моменту вращения). Следовательно, низший мультиполь гравитационных волн — квадруполь. С учетом излучения гравитационных волн мы должны иметь в виду, что уменьшается и масса, и момент вращающегося тела, а следовательно, меняются и продольная, и дипольная стационарные составляющие поля.
Гравитационные волны также не имеют продольной состав ляющей, т. е. они поперечны. Более того, наблюдаемыми яв ляются только различия волновых полей в соседних точках на фронте волны, т. е. величины тензорного характера, например,.
на оси z —величины типа – dE x / dx , dE x / dy , dE y / dx , dE y / dy
Образно говоря, наблюдаемые эффекты в гравитационной волне — это силы, которые стремятся гибкий круг, лежащий в плоскости волны,, деформировать, превращая его в эллипс.
Силы, вызывающие смещение центра круга, не наблюдаемы: вместе со смещением центра на равную величину смещаются и другие тела, находящиеся в этой точке, наблюдаемы только раз ности смещений. Экспериментальное обнаружение гравитацион ного излучения (так же как и обнаружение гравимагнитных эффектов) является одной из важнейших задач ближайшего бу дущего. Гравитационное излучение взаимодействует с веществом гораздо слабее электромагнитного. Тем не менее, можно на деяться, что удастся за срок 5—10 лет обнаружить гравитацион ные волны от двойных звезд (см. § 12 гл. 1, § 11 гл. 3 и статью Брагинского (1965); см. также Вестервельт (1966)).
Таким образом, релятивистская теория тяготения в плоском пространстве (РТТПП) позволяет сделать весьма важные пред сказания, выходящие за рамки ньютоновской теории тяготения. Еще раз подчеркнем, что перечисленные выводы РТТПП пол ностью согласуются с выводами ОТО. Исследование гравимаг нитных эффектов или гравитационных волн не даст возможности выбрать между РТТПП и ОТО.
Следовательно, РТТПП нужно рассматривать вполне серьез но. Есть область, в которой РТТПП методически гораздо удоб нее ОТО; это вопрос о квантовании гравитационного поля, кото рый мы ниже вкратце рассмотрим.
К наиболее интригующему вопросу о том, какие же принци пиальные причины не позволяют отказаться от ОТО, мы обра тимся только в следующем параграфе.
Итак, обратимся к квантованию гравитационного поля. Тео рию квантования, развитую для электромагнитного поля, нельзя непосредственно перенести на случай, когда роль поля играет искривление пространства, Между тем, если гравитационное поле рассматривается в плоском пространстве, т. е. в РТТПП, квантова ние такого поля не представляет принципиальных затруднений.
Важнейший результат заключается в том, что гравитацион ным волнам соответствуют кванты — «гравитоны», столь же ре альные, как и кванты электромагнитного поля. Гравитоны пред ставляют собой нейтральные частицы с массой покоя равной нулю, со спином равным 2 (в единицах и, постоянной Планка), причем проекция спина на направление распространения может принимать только два значения, +2 или —2; суперпозиция волн с этими двумя значениями описывает все возможные состояния поляризации гравитационной волны. Гравитоны подчиняются статистике Бозе: возможны состояния, в которых многие грави тоны имеют одинаковый импульс, т. е. одинаковые частоту и длину волны. Как известно, такие состояния описываются клас сической (неквантовой) теорией поля; классическое описание тем точнее, чем больше число таких гравитонов. Гравитационное излучение двойной звезды нет надобности описывать как поток гравитонов именно по той причине, что велик поток и приме нима классическая теория: точно так же излучение радиостанции мы описываем уравнениями Максвелла и не думаем о квантах.
Высокочастотные гравитоны, подобные гаммаквантам, отли чаются весьма слабым взаимодействием с веществом из-за ма лости Gm 2 / h с, где m — масса элементарной частицы. Поэтому рождение 'и поглощение гравитонов во всех процессах на молеку лярно-атомно-ядерном уровне представляет собой возможное в принципе, но крайне редкое экзотическое явление и не играет никакой заметной роли. В частности, рождение пар нейтрино (процесс, похожий на рождение гравитонов по своим послед ствиям) в 10 10 раз сильнее рождения гравитонов.
Единственным исключением может быть ситуация вблизи сингулярного состояния в горячей модели Вселенной (см. ниже, гл. 18), при сверхвысоких плотностях и температурах: в этой ситуации гравитационного взаимодействия может оказаться до статочно для того, чтобы установилось термодинамическое рав новесие между гравитонами и другими видами материи. В этом равновесии общая плотность энергии гравитонов равна плотно сти энергии электромагнитного излучения. Это равенство при ближенно сохраняется и позже в ходе расширения. Наличие теплового электромагнитного излучения с температурой порядка 3° К (см. гл. 18), являющееся результатом расширения горячей в прошлом среды, позволяет предположить, что во Вселенной есть и фоновое тепловое (с планковским спектром для однород ной изотропной космологической модели*)) гравитационное из лучение. Его средняя длина волны около 0,15 см, частота 210 11 гц, плотность энергии ~510~ 13 эрг/см 3 . Этот вопрос бу дет рассмотрен подробнее в гл. 18. Детектирование такого излу чения необычайно трудное дело. Впрочем, в последнее время по являются новые идеи в области молекулярной генерации и детек тирования гравитационных волн (Копвилем, Нагибаров (1965),
Отметим одно распространенное неверное утверждение: гово рят о том, что гравитационное взаимодействие представляет со бой «обмен гравитонами». При этом иногда утверждают даже, что все частицы испускают гравитоны и при этом теряют энер гию (см. К. П. Станюкович (1965); рецензия Я. Б. Зельдовича и Я. А. Смородинского, УФН 88, 199 (1966).
В действительности, например, электромагнитное поле мож но подразделить на продольные и поперечные компоненты.
Поперечные компоненты описывают распространяющиеся вол ны; их квантование приводит к понятию световых квантов как частиц с определенным импульсом и энергией и нулевой массой покоя. Продольные компоненты описывают кулоновское взаимо действие; их квантование не вносит ничего нового. Кулоновское поле стационарно, оно не зависит от времени: не существует квантов продольного поля, которые могли бы удаляться от ис точника поля.
Таким образом, электростатическое взаимодействие и испу скание квантов — это два разных следствия одной теории; электростатическое взаимодействие не является результатом об мена свободными (поперечными) квантами.
Различный характер полей в смысле продольности и попе речности наглядно иллюстрирует нелепость буквального пони мания термина «взаимодействие есть обмен квантами». Однако еще важнее помнить, что испускание волн, уносящих энергию, обязательно связано с ускоренным движением заряда в класси ческой теории. В квантовой теории испускать кванты может лишь система, находящаяся в возбужденном состоянии. При этом си стема переходит, прямо или каскадно, в основное, нижнее со стояние, и теряет способность испускать волны.
Между тем кулоновское поле существует у покоящегося за ряда и у заряженной системы, находящейся в нижнем кванто вом состоянии.
Это нужно иметь в виду и в случае ядерных сил. Теория скалярных мезонов (теория Юкавы; здесь не существенно, что мезоны псевдоскалярны, а не скалярны) предусматривает два факта:
1) существование свободных мезонов с определенной массой, со спином 0, подчиняющихся статистике Бозе;
2) взаимодействие нуклонов.
Когда мезонов много, можно говорить о классической теории мезонного поля; это поле скалярное, т. е. подобно полю темпе ратуры Т ( r ), а не векторному полю скорости v ( r ); понятия продольных и поперечных волн здесь нет.
Однако и в мезонной теории остается в силе утверждение: испускать свободные мезоны может только ускоренно движу щийся или возбужденный нуклон. Покоящийся нормальный нук лон создает вокруг себя мезонное поле, воздействующее на дру гие нуклоны, но это поле статическое, мезоны не испускаются, и нуклон, естественно, не теряет массы и энергии. Это видно также и из того, что статическое мезонное поле убывает экспо ненциально с расстоянием, как e ~ mer / h .
Гравитационное взаимодействие тел (ньютоновское притяже ние) нельзя представлять себе как результат излучения грави
тонов, сопровождающегося потерей энергии (массы) по обоим причинам: как из-за поперечности гравитонов, так и по энерге тическим причинам. Идеи гравитационной потери энергии легко привести к абсурду простым сопоставлением: в этом случае по чему не предположить потерю энергии электростатическую или связанную с ядерными силами, в 1040 раз более сильную?! Вре мя изменения массы порядка 1010 лет (гравитационное) превра тилось бы в 103 сек.
Задачи по физике с решениями Интересное и познавательное о астрофизике