Локальный закон распределения скорости
Напомним «классические» основы космологии. Будем рас сматривать однородную и изотропную космологическую модель. Ниже мы покажем, что если в некоторый момент распределение и движение материи однородно и изотропно, то это свойство сохранится и в течение всей эволюции. Кроме того, из свойства однородности следует, что достаточно проследить судьбу од ного элемента объема вещества, ибо судьба всех остальных в точности такая же. Рассматриваемое решение является частным случаем сферически-симметричного решения, причем за центр можно выбрать любую точку. В § 13 гл. 3 показано, что в сфе рическом случае вещество вне любой сферы R 0 не создает гра витационного поля внутри этой сферы. Следовательно, если мы выделим достаточно малый шар R 0 , то поле тяготения, соз даваемого его массой, будет слабо (внешние массы несуще ственны), скорости относительных движений также малы и можно пользоваться в этой области ньютоновской теорией, не обращаясь к ОТО.
Мы воспользуемся этим наглядным способом (Мак-Кри, Милн (1934)) для вывода формул эволюции модели. Разу меется, когда мы от локальных свойств перейдем к изучению геометрии больших областей, необходимо будет вернуться к ОТО.
Итак, пользуемся в малой области ньютоновской теорией, локально являющейся точной. Разумеется, те же формулы мож но было бы получить прямо из уравнений ОТО, как это обыч но и делается. Однако их смысл и ясность при таком способе вывода были бы не столь очевидны.
Движение вещества будем рассматривать в системе коор динат, выбранной так, что в начале координат (0) вещество покоится. В этой системе координат вещество, находящееся на некотором расстоянии от начала, движется. Пусть скоростьдвижения положительна, т. е. направлена от начала координат и пропорциональна расстоянию. В векторной форме такой за кон распределения скорости записывается
u = Hr ,
причем H >0. Н называется «постоянная Хаббла». Название «постоянная» указывает на независимость Я от величины и направления вектора r ; однако H зависит от времени; эта за висимость будет подробно рассмотрена в § 2. Очевидно, что указанное распределение скоростей изотропно: для наблюда теля, находящегося в начале координат, никакое направление не является выделенным. В произвольной точке A , радиус-век тор которой r а , вещество движется со скоростью и А , и ка залось бы, изотропия нарушена.
Перейдем в систему координат с началом в точке А, дви жущимся со скоростью u A , т. е. произведем перенос начала координат и Галилеев переход к движущейся системе. Вели чины, измеренные в новой системе, отметим штрихом. Очевидно, r ' = r — r а . Тогда
u ' = и— u А = Н r —Н r А = Н( r r г А ) = Н r '. (15.1.2)
Следовательно, в новой системе имеет место тот же закон рас пределения скоростей и' в зависимости от r ? , что и в старой для зависимости u и r . Распределение скоростей (15.1.1) за мечательно именно тем, что оно не выделяет никакой особой точки. Только такое распределение скоростей изотропно и од нородно. Наблюдатель, движущийся вместе с веществом, в лю бой точке видит картину удаления от него всех окружающих его частиц.
Закон расширения можно сформулировать, не поль зуясь координатными системами, так*): расстояние между лю бой парой материальных точек А я В изменяется со временем по закону dr AB / dt = Н r АБ , откуда
r AB (t) =r AB (t 0 ) exp t ? t0 H (t) dt (15.1.3)
Рассмотрим закон изменения плотности. Возьмем шар, содержащий определенную массу М; радиус его обозначим R = R ( t ) -Плотность вещества ? = M / 4? R 3 /3 откуда
dp/dt=-3M/ 4 ? R 4 /3 * dR/dt
Подставим в последнюю формулу dR / dt = u = HR получим
dp/dt = —З pH . (15.1.4)
То же уравнение более формально можно получить из уравне ния неразрывности:
?? / ?t =div ( p u ).
Предположим, что р не зависит от координат, т. е. р = р( t ); подставим и по формуле (15.1.1):
div u = div ( Hr ) = 3 H , откуда снова
?p/ ?t = —З H? . (15.1.4')
Итак, ? p /? t не зависит от координат. Следовательно, если в какой-то момент р не зависело от координат, то при законе рас ширения (15.1.1) во все последующие и предыдущие моменты р также не зависит от координат*), хотя и меняется с течением времени, р = р( t ). Таким образом, однородность, заданная в на чальный момент, сохраняется всегда.
То же следует и для свойств изотропии. В самом деле, возь мем в выделенном шаре любую точку. В начальный момент от носительные скорости для любой точки распределены изотроп но. Далее, ускорения направлены к центру шара и при равно мерном распределении вещества пропорциональны расстоянию от центра. Ускорения можно изображать просто радиусом-век тором, умноженным на одну и ту же константу. Но отсюда следует, что относительные ускорения для любой точки тоже изотропны — они будут изображаться векторами, соединяющи ми данную точку с любой другой. Итак, в начальный момент и скорости и ускорения изотропны. Следовательно, изотропны скорости и в следующий момент, т. е. всегда u = Hr , хотя вели чина Н и зависит от времени.
Задачи по физике с решениями Интересное и познавательное о астрофизике