Закон эволюции. Критическая плотность.

Рассмотрим снова шар, содержащий массу М, и найдем ускорение частицы, находящейся на поверхности шара. На ча стицу действует сила притяжения со стороны М

d 2 R / dt 2 = GM / R ?.

Подставим в (15.2.1)

u=dR/dt=HR , M=4?/3?R 3

получим

d(HR)/dt = R *dH/dt+H* dR/dt=R* dH/dt+RH?= -4?/3 * G?R,

dH / dt =H ?-4 ? /3 * G? (15.2.2)

Уравнения (15.1.4) и (15.2.2) образуют систему, полностью определяющую изменение со временем (и для прошлого, и для будущего) всех локальных свойств Вселенной. Как и сле довало ожидать, в эти уравнения не входит радиус R произ вольно выделенной массы М.

Для того чтобы представить наглядно общий характер ре шения, удобно и дальше пользоваться величинами R и М.

Уравнение движения (15.2.1) можно один раз проинтегри ровать, умножая на dR / dt ; получим

? (dR/dt) ? -GM/R=const

Это уравнение имеет вид закона сохранения энергии: первый член слева — кинетическая энергия единицы массы; второй член слева (отрицательный) —его потенциальная энергия; констан та справа — есть полная энергия.

Будем считать известным значение H 0 и ? 0 в , момент t о и зададимся R 0 ; при этом M =4 ? /3* R 3 0 ? 0 Мы знаем также значение ( dR / dt ) t = t 0 = H 0 R 0 момент t 0 . Таким образом можно определить значение константы в правой части (15.2.3). Получим

1/2 ( dR / dt ) ? t = t 0 G * 4 ? /3* p 0 R 0 / R 0

=1/2 H 2 0 R 2 0 G *4 ?? 0 R 0 2 /3

Итак, из (15.2.3) следует

(dR/dt) ? = 8?/3* G ? 0 R 0 3 / R8?/3 *G R 0 3 (p 0 -3H 0 2 / 8?G) (152.4) i

Легко представить себе общий характер решения. В настоя щее время — ( dR / dt ) положительно. Следовательно, в прошлом R было меньше, а значит, 8 ?G ? 0 R 0 3 / 3 R было больше, чем в настоящее время. Следовательно, в прошлом — ( dR / dt ) обязательно было больше, чем в настоящее время; был момент R =0, dR / dt =+?

Предсказание для будущего зависит от знака скобки (р о — З H о/8? G ) во втором члене. Обозначим 3/8 ? H 0 2 / G = ? c ( 15.2.5)

Если ро>рс, скобка положительна. Значит, по мере увеличе ния R будет достигнуто такое значение, когда вся правая часть обратится в нуль. В этот момент расширение прекратится и сменится сжатием (рис. 69).

R

t ' t

Рис. 69. Изменение со временем расстояния R между двумя точками, когда плотность р 0 больше, чем критическая плотность р с . t 0 — сегодняшний момент, t ? и t '? — моменты бесконечной плот ности, t m — момент максимального расширения.

Если ро<рс, то расширение будет продолжаться неограни ченно; в пределе при t > ?, R > ?

dR/dt =v 8?/3G R 0 2 (pc-p 0 ) = const,

Соответствующая кривая показана на рис. 70. Как уже отмеча лось, расстояние между любой парой объектов меняется про порционально R , т. е. проходит через максимум в случае рис. 69 и неограниченно увеличивается в случае рис. 70.

Вероятное значение постоянной Хаббла по современным дан ным 100 км/сек Мпс. В абсолютных единицах H 0 = 3 • 10 -18 сек -1 ,

Соответствующее значение критической плотности р с = =2* 10 -29 г/см 3 . По оценке Оорта, фактическое значение р 0 ?5-10~ 31 г/см 3 . Эта оценка сделана в тех же предположе ниях о шкале расстояний, ко торые дали указанное выше значение H 0 , и относится толь ко к массам галактик (не учи тывается масса межгалактиче ского вещества).

Из сопоставления следует, что р о /р с ?1/30 т.е в действи тельности, вероятно, осуществляется случай рис. 70. Не ис ключено, однако, что в дей ствительности плотность вещества больше, в частности, за счет межгалактического ионизованного водорода или нейтрино или за счет коллапсировавших звезд

Поэтому представляет интерес исследование решения при различных ро, в том числе при ро, существенно превышающих значение, данное Сортом.

  >> Далее

Задачи по физике с решениями

Интересное и познавательное о астрофизике