Продолжительность расширения

Найдем момент t ? в прошлом, когда R = 0, т. е. когда плот ность вещества была бесконечной. Если бы скорость расшире ния была постоянной и равной современному значению, то можно было бы написать

R 0= ( dR / dt ) t = t 0 ( t 0 t ?) = H 0 R 0 ( t 0 t ?). ( 15.3.1)

Для «возраста» однородной модели Вселенной Т, т. е. для вре мени, протекшего от t ? до настоящего момента to , мы получили бы (при H 0 = 100 км/сек Мпс)

Рис. 70. Изменение со временем рас стояния между двумя точками, когда плотность р о меньше, чем крити ческая плотность р с .

T = t 0 — t ? = 1/ H 0 =3*10 17 сек ?10 10 лет.

Как видно из уравнения (15.2.3) и рис. 69 и 70, в прошлом dR / dt было больше, чем в настоящее время. В действительности, как нетрудно получить из формул предыдущего параграфа,

T = t 0t ? =1/ H 0 f ( p 0 / p с )= 1/ H 0 f (?) (15.3.2)

где мы обозначили ? = p 0 / p c . Аналитический вид функции f (?) дан в приложении. Гра фик f дан *) на рис. 71.

ПРИЛОЖЕНИЕ

Сокращение времени эволюции по сравнению с равномерным движе нием зависит от плотности. Характе ризующая эту зависимость функция f такова, что f < 1, причем при ро=0, ? = 0, f (0) = l . В общем случае, при произвольном ? функция f дается формулами, которые имеют различ ный вид при ?>1 и при ?<1. В первом случае

f=?/(?-1) 3/2 [arcsin v?-1/? 1/? v?-1] 15.3.1n

Рис. 71. Безразмерный возраст мира (отнесенный к обратной константе Хаббла 1/ H ) как функция безраз мерной плотности, отнесенной к кри тической плотности. Сплошная ли ния — мир, заполненный материей с уравнением состояния Р = 0; пунктирная — мир, заполненный ве ществом с Р = ?/3.

При этом легко проверить, что при ?>1, f > 2 /3; при ? >>1 , f > ? /2v? так что при f >0 ?>? . При малой плотности ?<1

f = ?/(?-1) 3/2 [ arcsin v?-1/? + 1/? v-?+1] (15.3.2п)

Эта формула, естественно, также дает в пределе Q ->1, f -> 2 /з, так что f (1) не зависит от того, с какой стороны мы подходим к ? = 1; f не терпит раз рыва или излома, несмотря на различный аналитический вид (15.3.1) и (15.3.2). При ?<< 1 асимптотически (см. ниже (15.4.8))

f = 1 ?/2 * in 1/?, f >1 при ?> 0. (15.3.3п)

В случае ?>1 представляет интерес также время достижения макси мума плотности t m to , а также время до полного сжатия t '? — t 0 (см. рис. 69). Можно показать, что

t m t 0 =1/ H 0 f m ( ? ), ( t '?t 0 ) = 1/ H 0 f '( ? ) (15.3.4л)

где

f m ( ? ) = ? / ( ? -1) 3/2 [v ? -1/ ? + ? /2 arcsin v?-1/?]. (15.3.5 n )

Далее,

f '( ? ) = f + 2 f m = ? /( ? -1) 3/2 [ ? + v ? -1/ ? – arcsin v?-1/? ]. (15.3.6 n )

Функция f m изображена на рис. 72. Плотность проходит через максимум и затем обращается в бесконечность лишь в случае ? >1. Соответственно и

Рис. 72. Безразмерное время, необходимое для достижения максимума радиуса, как функция плотности. Сплошная линия — P = 0, пунктир ная — Р = ?/3.

формулы (15.3.7) и (15.3.8) определены лишь для ?>1: при ?, приближаю щемся к единице, f m и f ' уходят в бесконечность пропор

Задачи по физике с решениями

Интересное и познавательное о астрофизике